La géométrie de l'arbitrage

1 — la loi vivante

μ = σ(α·ln r − ln β)

r = signal_phon ⁄ signal_ortho. μ est le poids donné au phon. Bouge α (la netteté de la décision) et β (le biais). La courbe grise ne bouge pas : c'est le cas (1,1), le point auto-dual de la loi.

le ruban

Une seule surface, un seul bord

L'arbitrage ortho↔phon est un ruban de Möbius. Suis le bord bicolore : teal (ortho) passe par l'or (phon) et revient sur lui-même — une seule frontière, les deux voies sont inséparables. La ligne violette est l'axe β=1 ; les deux billes, le couplage par l'involution r→1/r. Glisse pour tourner.

2 — ce qui porte vraiment

Deux faces, chacune souveraine chez elle

Winrate par voie et régime — record vérifié 06/2026, 3 graines. L'ortho règne sur le connu ; le phon remonte le hors-lexique de +14 à +18 points. La bascule est réelle : pas de face vassale.

Les surfaces mesurées

Balayage θ réel (graine 12345, N=40). À gauche le winrate, à droite la cohérence 4·E[μ(1−μ)]. Le contour marque (1,1) ; le liseré violet, l'axe Möbius β=1.

Les mêmes surfaces, en relief

Le winrate et la cohérence comme du terrain. Le pic monte vers le coin phon ; la crête de cohérence court le long de β=1 — l'axe Möbius. Le mât violet marque (1,1) : sur la crête, jamais sur le pic. Glisse pour tourner.

3 — la forme de l'espace

Une géométrie hyperbolique

L'espace des paramètres θ=(α, ln β) porte la métrique de Fisher g = E_r[μ(1−μ)·((ln r)², −ln r ; −ln r, 1)]. Chaque ellipse est la métrique locale ; sa teinte suit g_ββ. La courbure est négative partout — le long de β=1 on glisse librement (symétrie), s'en écarter coûte.

la même loi, trois moteurs

Arbitrer entre deux voies — partout

Cette loi n'est pas propre au pendu. Le même arbitrage ortho ↔ phon / contexte gouverne trois moteurs. C'est le modèle du canal bruité (noisy-channel, Kernighan–Church–Gale 1990) : choisir le mot w = argmax P(w)·P(s|w)^λ — où λ règle le poids d'une voie contre l'autre. λ, c'est le α de la courbe plus haut ; (1,1) est le poids neutre.

Honnêteté (banc 07/2026) : sur le correcteur, l'arbitrage de principe égale les seuils réglés à la main — sans les battre encore. Le mur y est le modèle de canal orthographique (pièges de fréquence), pas le poids. La forme est juste ; la calibration reste ouverte.

Là où la géométrie a franchi un mur

Sur le choix du candidat, l'arbitrage égalise, sans battre. Mais pointée sur un autre problème du correcteur, la même loi a fait tomber une barrière réputée hors de portée d'un outil léger — retrouver le sujet d'un verbe mal accordé quand le mot reste valide (« les enfants joue »). La littérature en fait le problème central. Aucune piste de sujet seule ne le franchit (la meilleure plafonne à 81 %), et les additionner les affole. Ce qui a marché, c'est exactement la géométrie de cette page : mélanger les routes-sujet en les pondérant par leur fiabilité — le piqué de chaque distribution, la même μ = r/(1+r) qu'au bord du ruban — un petit modèle de langue portant le gradient de confiance. Sur le résiduel que le parseur abandonne, le nombre du sujet ressort à ~94–97 %. Livré en vigilance (il suggère, ne réécrit pas — le zéro faux positif reste intact).

Et une part du mur tombe même affirmativement, par un principe plus simple que l'arbitrage : le sujet ne se lit pas toujours juste devant le verbe. Le verbe frère le porte (« mangent et dort »→dorment), l'antécédent d'une relative le porte (« que je vois joue »→jouent), une incise ne fait que l'interrompre. Quatre écrans, quatre règles ancrées sur le pluriel audible — zéro faux positif sur 2 500 phrases et sur des pièges retors. La frontière reste honnête (le complément « de N » général demeure en vigilance) — mais la part structurellement récupérable, elle, redevient une correction franche. La géométrie de l'arbitrage n'a pas battu la calibration du candidat ; elle a franchi un mur voisin, réputé infranchissable, avec la même idée : croiser, c'est doser par fiabilité, jamais additionner.